2014全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

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1 单选题 1分

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正确答案：B

本题解析：

用行列式的性质与按一行（列）展开定理计算行列式

2 单选题 1分

设函数u（x，y）在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足

及

则（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

由于u（x，y）在平面有界闭区域D上连续，故u（x，y）在D内必然有最大值和最小值，并且若在内部存在驻点（x0，y0），即

则在这个点处

由条件知，AC－B2＜0，则u（x，y）不是极值点，当然也不是最值点，故u（x，y）的最大值点和最小值点都在区域D的边界上。

3 单选题 1分

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正确答案：C

本题解析：

4 单选题 1分

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正确答案：C

本题解析：

5 单选题 1分

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正确答案：B

本题解析：

6 单选题 1分

设函数f（x）＝arctanx，若f（x）＝xf′（ξ），则（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

7 单选题 1分

设α1，α2，α3是三维向量，则对任意的常数k，l，向量组α1＋kα3，α2＋lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

若向量组α1，α2，α3线性无关，则

对任意的常数k，l，矩阵K的秩都等于2，所以向量α1＋kα3，α2＋lα3一定线性无关；又当

时，对任意的常数k，l，向量α1＋kα3，α2＋lα3线性无关，但α1，α2，α3线性相关。

8 单选题 1分

设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在区间[0，1]上（　　）。

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正确答案：D

本题解析：

方法一：如果熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，则可直接做出判断，若对区间上任意两点x1，x2及常数0≤λ≤1，恒有f[（1－λ）x1＋λx2]≥（1－λ）f（x1）＋λf（x2），则曲线是凸的，显然此题中x1＝0，x2＝1，λ＝x，则（1－λ）f（x1）＋λf（x2）＝f（0）（1－x）＋f（1）x＝g（x），而f[（1－λ）x1＋λx2]＝f（x）；故当f″（x）≥0时，曲线是凹的，即f[（1－λ）x1＋λx2]≤（1－λ）f（x1）＋λf（x2），故f（x）≤g（x）。

方法二：如果不熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，可令

F（x）＝f（x）－g（x）＝f（x）－f（0）（1－x）－f（1）x

则F（0）＝F（1）＝0，且F″（x）＝f″（x）。

故当f″（x）≥0时，曲线是凹的，从而F（x）≤F（0）＝F（1）＝0，即F（x）＝f（x）－g（x）≤0，故f（x）≤g（x）。