2008全国硕士研究生招生考试《数学1》真题-名校题库网

1 单选题 1分

设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则

正确答案：D

本题解析：

由相关系数的性质可知：如果|ρXY|=1，则必有P{Y=aX+b}=1，(a≠0)，现在题设条件ρXY=1，只要在P{Y=±2X±1}=1四个选项中选一就可以了，实际上只要确定它们的正负号即可，本题可以从X～N(0，1)和Y～N(1，4)及ρXY=1直接推出P{Y=aX+b}=1中的a，b值.但更方便的，不如直接定出a，b的正负号更简单.

【求解】先来确定常数b，由P{Y=aX+b}=1.可得到E(Y)=aE(X)+b再因为X～N(0，1)，Y～N(1，4)，所以，1=a?0+b，即得b=1现来求常数a，实际上只要判定a的正负号就可以了.

数学一,章节练习,数学一真题

而Cov(X,Y)=Cov(X,aX+b)=aCov(X,X)=a故a>0.答案应选(D).

【评注】从数学一,章节练习,数学一真题，也可得到a=2

2 单选题 1分

设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max{X，Y}的分布函数为

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正确答案：A

本题解析：

随机变量Z=max(X，Y)的分布函数Fz(x)应为Fz(x)=P{Z≤x}，由此定义不难推出Fz(x).【求解】数学一,章节练习,数学一真题故答案应选(A).

【评注】不难验证(B)F(x)F(y)恰是二维随机变量(X，Y)的分布函数.(C)1-［1-F(x)］^2则是随机变量min(X，Y)的分布函数.(D)［1-F(x)］［1-F(y)］本身不是分布函数，因它不满足分布函数的充要条件.

3 单选题 1分

设A为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

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　　在正交变换下的标准方程的图形如图所示，

　　数学一,历年真题,2008全国硕士研究生招生考试《数学1》真题

　　则A的正特征值的个数为

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正确答案：B

本题解析：

本题把线性代数与解析几何的内容有机的联系起来，首先要明白所给图形是什么曲面？其标准方程是什么？　　双叶双曲面，标准方程是：数学一,章节练习,数学一真题 =1其次，二次型经正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是A的特征值，所以应选(B).

很多考生选择(C)，是不是把标准方程记成了图1}　而忽略了本题的条件是x^TAx=1.

4 单选题 1分

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A^3=O，则

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正确答案：C

本题解析：

判断矩阵A可逆通常用定义，或者用充要条件行列式｜A｜≠0(当然｜A｜≠0又有很多等价的说法).因为(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E，(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E，所以，由定义知E-A，E+A均可逆.故选(C).

【评注】本题用特征值也是简捷的，由A^3=O 数学一,章节练习,数学一真题 A的特征值λ=0E-A(或E+A)特征值均不为0｜E-A｜≠0(或｜E+A｜≠0)E-A(或E+A)可逆

5 单选题 1分

设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是

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正确答案：B

本题解析：

(方法一)由于{xn}单调，f(xn)单调有界，则数列{f(xn)}单调有界.由单调有界准则知数列{f(xn)}收敛，故应选(B).　(方法二)排除法：若取数学一,章节练习,数学一真题，则显然f(xn)单调，{x}收敛，但显然{f(xn)}不收敛，这样就排除了(A).若取f(xn)=arctanx，x=n，则f(xn)=arctann，显然{f(xn)}收敛且单调，但{xn}不收敛，这样就排除了(C)和(D)，故应选(B)